Materi yang dibahas pada aljabar abstrak pada dasarnya tentang himpunan
dan operasinya, dan selalu identik dengan sebuah himpunan yang tidak kosong
yang mempunyai elemenelemen
yang dioperasikan dengan satu atau lebih
operasi biner. Suatu himpunan yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi
biner disebut struktur aljabar atau sistem aljabar.
Sistem aljabar dengan satu operasi biner yang memenuhi sifatsifat
tertentu dikenal dengan Grup. Sedangkan untuk himpunan yang tidak kosong
dengan dua operasi biner yang memenuhi sifatsifat
tertentu disebut dengan Ring.
Pada sistem aljabar yang lain juga dibahas tentang modul. Misal (R, +,× ) dan (M,
+) grup abelian. Jika ada pemetaan dari (R,M) ® M , yang memenuhi sifatsifat:
a) ( r + s) m = rm+ sm , b) ( rs) m = r ( sm ) , c) r ( m + n) = rm + rn dan d) 1m = m ,
untuk semua "r, sÎR,m, nÎ M .
Selanjutnya dari modul sendiri dapat dikembangkan menjadi beberapa sub
pembahasan, diantaranya adalah Homomorfisme. Misalkan M dan N adalah Rmodul
dan ada pemetaan j :M ® N yang homomorfisme Rmodul
jika dan
hanya jika j (a x + y) =aj ( x) + j ( y ), "x, yÎM,a Î R . Homomorfisme modul
mempunyai tiga sifat, yaitu jika homomorfisme modul dari M ke N tersebut
bersifat injektif (satusatu)
maka disebut monomorfisme, jika homomorfisme
bersifat surjektif maka disebut epimorfisme, sedangkan jika mempunyai sifat
keduaduanya
maka disebut isomorfisme. Sedangkan ring endomorfisme adalah
himpunan semua homomorfisme modul dengan domain dan kodomaiannya sama
dan himpunan tersebut membentuk ring yang disebut ring endomorfisme.
Endomorfisme mempunyai tiga sifat, yaitu jika endomorfisme dari M ke M
bersifat satusatu
maka disebut endomorfisme injektif, jika endomorfisme bersifat
onto maka disebut endomorfisme surjektif, sedangkan jika mempunyai sifat kedua
tersebut maka disebut endomorfisme bijektif. Jika M finite dan endomorfisme
bersifat injektif, maka pasti bijektif dan jika M finite dan endomorfisme bersifat
surjektif, maka pasti bijektif.
Untuk penulisan skripsi selanjutnya, penulis menyarankan kepada meneliti
yang lain untuk mengadakan penelitian secara lebih mendalam mengenai modul
homomorfisme dan ring endomomorfisme modul, dengan mencari sifatsifat
yang
lain.
dan operasinya, dan selalu identik dengan sebuah himpunan yang tidak kosong
yang mempunyai elemenelemen
yang dioperasikan dengan satu atau lebih
operasi biner. Suatu himpunan yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi
biner disebut struktur aljabar atau sistem aljabar.
Sistem aljabar dengan satu operasi biner yang memenuhi sifatsifat
tertentu dikenal dengan Grup. Sedangkan untuk himpunan yang tidak kosong
dengan dua operasi biner yang memenuhi sifatsifat
tertentu disebut dengan Ring.
Pada sistem aljabar yang lain juga dibahas tentang modul. Misal (R, +,× ) dan (M,
+) grup abelian. Jika ada pemetaan dari (R,M) ® M , yang memenuhi sifatsifat:
a) ( r + s) m = rm+ sm , b) ( rs) m = r ( sm ) , c) r ( m + n) = rm + rn dan d) 1m = m ,
untuk semua "r, sÎR,m, nÎ M .
Selanjutnya dari modul sendiri dapat dikembangkan menjadi beberapa sub
pembahasan, diantaranya adalah Homomorfisme. Misalkan M dan N adalah Rmodul
dan ada pemetaan j :M ® N yang homomorfisme Rmodul
jika dan
hanya jika j (a x + y) =aj ( x) + j ( y ), "x, yÎM,a Î R . Homomorfisme modul
mempunyai tiga sifat, yaitu jika homomorfisme modul dari M ke N tersebut
bersifat injektif (satusatu)
maka disebut monomorfisme, jika homomorfisme
bersifat surjektif maka disebut epimorfisme, sedangkan jika mempunyai sifat
keduaduanya
maka disebut isomorfisme. Sedangkan ring endomorfisme adalah
himpunan semua homomorfisme modul dengan domain dan kodomaiannya sama
dan himpunan tersebut membentuk ring yang disebut ring endomorfisme.
Endomorfisme mempunyai tiga sifat, yaitu jika endomorfisme dari M ke M
bersifat satusatu
maka disebut endomorfisme injektif, jika endomorfisme bersifat
onto maka disebut endomorfisme surjektif, sedangkan jika mempunyai sifat kedua
tersebut maka disebut endomorfisme bijektif. Jika M finite dan endomorfisme
bersifat injektif, maka pasti bijektif dan jika M finite dan endomorfisme bersifat
surjektif, maka pasti bijektif.
Untuk penulisan skripsi selanjutnya, penulis menyarankan kepada meneliti
yang lain untuk mengadakan penelitian secara lebih mendalam mengenai modul
homomorfisme dan ring endomomorfisme modul, dengan mencari sifatsifat
yang
lain.
No comments:
Post a Comment